Pengujian Hipotesis Rata-rata

Terdapat 2 pengujian dalam hipotesis rata-rata

1.    Menguji rata-rata µ: uji dua pihak

Hal (A):  diketahui

Misalkan kita mempunyai populasi berdistribui normal dengan rata-rata µ, dan simpangan baku  akan diuji mengenai parameter µ, ambil sampel acak berukuran n, lalu dihitung  dan s.

H_{0 :} µ= µ₀       dan     H₁ : µ ≠ µ₀

Menguji Rata-Rata, µ.

             

Statistik Z  ini berditribusi normal baku, sehingga untuk menetukan kriteria pengujian digunakan daftar ditribusi normal baku. H₀ kita terima jika Z½(1- ) ˂ z ˂ Z½(1- ) dengan Z½(1- ) didapt dari daftar baku dengan peluang ½(1- ). Dalam hal lainya H₀ ditolak.

Contoh: Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai hingga 800 jam, akhir akhir ini timbul dugaan bhwa masa pakai lampu itu telah berubah, untuk menentukan hal ini dilakukan penelitian dengan jalan menguji 50 lampu. Teyata rata-ratanya 792 jam. Dari pengalaman, diketahui bahwa simpangan baku masa hidup lampu 60 jam. Selidikilah dengan taraf nyata 0.05 apakah kualitas lampu tersebut sudah berubah

Penyelesaian: Dengan memisalkan masa hidup lampu berdistribusi normal, maka kita akan menguji H₀ : µ = 800 jam, berarti masa lampu itu masa pakainya sekitar 800 jam. H₁ : µ ≠ 800 jam, berarti kualitas lampu telah berubaj dan bukan 800 jam lagi. Dari pengalaman simpangan baku  = 60 jam.

Dari penelitian didapat  = 792 jam dengan n = 50.

Dengan mensubsitusikan µ₀ = 800. Didapat

Kriteria yang dipakai dari daftar normal baku untuk uji dua pihak dengan α = 0.05 yang memberikan z 0.475 = 1.96 adalah terima H₀jika z hitung terletak antara -1.96 dan 1.96. dalam hal lainya H₀ditolak. Dari penelitian sudah didapat z = -0.94 dan ini jelas terletak dalam daerah penerimaan H₀. Jadi H₀ diterima. Ini berarti dalam taraf nyata 0.05, penelitian memperlihatkan bahwa memang masa pakai lampu masih sekitar 800 jam. Jadi belum berubah.

Hal (B):  tidak diketahui
Pada kenyataannya, simpangan baku  sering tidak diketahui. Dalam hal ini, maka diambil taksirannya, ialah simpangan baku s, yang dihitung dari sampel dengan menggunsksn rumus V (5). Statistik yang digunakan untuk menguji pasangan hipotesis: H₀ : µ = µ₀ dan H₁: µ ≠ µ₀.

Untuk populasi normal diketahui bahwa t berdistribusi student dengan dk=(n-1). Karena itu, distribusi untuk menentukan kriteria pengujian digunakan distribusi student dan batas batas kiteria untuk uji dua pihak ini didapat dari daftar distribusi student pula. H₀ kita terima jika t₁-½  ˂ t ˂ t₁-½  dengan t1-½  didapat dari daftar distribusi t dengan peluang (1 - ½ ) dan dk = (n - 1). Dalam hal lainya, H₀ kita tolak:

2.    Menguji rata-rata µ: uji satu pihak

Perumusan yang umum untuk uji pihak kanan mengenai rata-rata µ berdasarkan H₀ dan H₁ adalah:

H₀ : µ = µ₀  

H₁ : µ ≠ µ₀

Kita misalkan populasi berdistribusi normal dan daripadanya sebuah sampel acak berukuran n telah diambil. Dari sampel tersebut dihitung  dan s. didapat hal-hal berikut:

Hal (A).

Ialah menggunakan distribusi normal baku. batas kriteria, tentunya didapat dari daftar normal baku. kita tolak H₀ jika z ≥0.5 -  dengan z_0.5 -    didapat dari normal baku menggunakan peluang (0.5 - ). Dalam hal lainya H₀ kita terima.

Contoh:

Proses pembuatan barang Rata-rata menghasilkan 15.7 unit per jam. Hasil roduksi mempunyai varian = 2.3 metode baru diusulkan untuk menganti yang lama jika rata-rata per jam menghasilkan paling sedikit 16 buah. Untuk menentukan apakah metode diganti atau tidak metode baru dicoba 20 kali dan ternyata rata-rata per jam menghasilkan 1.9 buah. Pengusaha bermaksud mengambil resiko 5% untuk menggunakan metode baru apabila metode ini rata-rata menghasilkan lebih dari 16 buah. Apakah keputusan pengusaha?

Penyelesaian:

Dengan memisahkan hasil distribusi normal, maka kita akan menguji pasangan hipotesis:

H₀ : µ = 16, berarti rata-rata hasil metode baru paling tinggi 16, jika ini terjadi, metode lama masih dipertahankan.

H₁ : µ ˃  16, berarti rata-rata hasil metode baru lebih dari 16, dan metode lama dapat diganti.

   = 16.9,  n = 20,   = ,  µ₀ = 16 buah, didapat.

Dari daftar normal standar dengan  = 0.05, diperoleh z = 1.64, kriteria pengujian adalah : H₀ jika z hitung leih besar atau sama dengan 1.64 dan z jika hitung 1.64 lebih kecil maka H₀ diterima.

Dari penelitian didapat z = 2.65 yang jelas jatuh pada daerah kritis. Jadi H₀ ditolak. Ini menyimpulkan bahwa metode baru dapat menganti metode lama dengan mengambil resiko 5%.

Hal (B) :  tak diketahui

Statistik yang digunakan:

H₀ : µ = µ₀

H₁ : µ ˃ µ₀ 
Adalah statistik t. kriteria pengujian didapat dari daftar distribusi student t dengan dk = (n - 1) dan peluang (1 - α). Jadi kita tolak H₀ jika t ≥ t₁ – α dan terima H₀ dalam hal lainya.

Contoh: Dikatakan bahwa dengan menyuntikkan semacam hormon tertentu kepada ayam akan menambah berat telurnya rata rata dengan 4.5 gram. Sampel acak yang terdiri atas 30 butir telur dari ayam ayy\ng telah diberi suntikan hormon tersebut memberikan rata rata berat 4.9 gr. Dan simpangan baku, s = 0.8 gr. Cukup beralaskah untuk menerima bahwa peryataan bahwa pertambahan rata rata berat telur paling sedikit 4.5 gr?

Penyelesaian: Yang kita hadapi adalah pasangan hipotesis:

H₀ : µ = 4.5 ; menyuntikkan ayam dengan hormon tidak menyebabkan bertambahnya rata-rata berat telur dengan 4.5 gram.

H₁ : µ ˃ 4.5 ; suntikan hormon menyebabkan berat telur rata-rata bertambah paling sedikit 4.5 gram.

Dengan:  = 4.9 gram. S = 0.8 gram. N = 31 dan µ₀= 4.5, maka didapat: Dengan mengambil α = 0.01, dari daftar distribusi t dengan dk = 30 didapat t = 2.46. Kriteria pengujian adalah tolak hipotesis H₀ jika t hitung lebih besar atau sama dengan 2.46 dan terima H₀ dalam hal lainya. Penelitian memberikan hasil t = 2.78 dan ini jatuh pada daerah penolakan H₀, jadi hipotesis H₀ ditolak dan penyuntikan hormon pada ayam meyakinkan kita dapat menambah berat telur rata-rata paling sedikit 4.5 gram.